okamura002

Fig.2-1における横荷重を受ける高層ビルの強制振動の運動方程式は、物理座標系を用いたマトリックス形式で(2-1)のように書ける。

Fig.2-1 Building displacement represented by normal modes.

Fig.2-1の12階建てのビルの場合、系は、12自由度で質量マトリックス：M 、減衰マトリックス：C、剛性マトリックス：K は、それぞれに（12×12）の大きさを、強制力F、加速度

、速度

、変位X　の各マトリックスは(12×1)の大きさを持ち、系は12個の固有値、ω_r、r=1～12と12個の個有値ベクトルΦr(xi)、r =1～12、i =1～12を持つ。

ここで固有値ベクトルを(2-2)のように並べた物がモードマトリックス(Modal　Matrix)上である。

ここで、励振力が低周波域に集中している場合には、高周波の振動は励振されないので低次の周波数のモードΦ1(xi)、Φ2(xi)、Φ3(xi)だけが励振されると仮定できる。　また、i番目の変位xiはこれらの和として(2-3)で表され、

ここで(2-5)を(2-1)に代入し P の転置マトリックスP^Tをマトリックス M 、C、 K に前から掛けると(2-6)を得る。

ここで、P^TM Pから1,2,3次の振動モードに対応する3個のモード質量

同様にP^TCP、P^TKPから3個のモード減衰係数と3個のモード剛性k1,2,3が求められ、(2-6)は、Fig.2-1に示されたΦ₁(x)、Φ₂(x)、Φ₃(x)の3個の振動モードに対応した1自由度系の強制振動の式になる。

すなわち、物理座標系では12自由度の振動系が、モード座標系Φでは3自由度系に縮小されることに気づく。

この方法は、モード合成法（Mode Summation Method）として知られている解法で、複雑な構造物、一例として50階建てのビルにも適用できる。

実験モード解析から ω_γとΦγ(x) 、x=1,2･･･n が正確に同定出来れば、(2-5)、(2-6)を用いて、複雑な系の振動がごく簡単に計算できる。これがモード座標系の威力である。

（1） P^TMPとP^TKPは通常対角マトリックスであるが、P^TCPは対角にならないので、(2-6)は、連成項を持つ、この場合の解析については下記参考文献を参照されたい。